8 februari 1996

Schijvende het programma 'flippo.cpp' moest ik alle haakjeszet mogelijkheden 
weten. 

Hier is volgens mij een hele theorie over te  bedenken. 
Gedachtegang die men kan volgen:

Het aantal (duale) operatoren (noteer ik met |)  is altijd 1 minder dan het 
aantal (n)  getallen (a b c d etc).
voor n=4 hebben we bijvoorbeeld:

((a|b)|c)|d en (a|b)|(c|d)

Hoe vinden we ze allemaal? 
In het geval n=4 is het redelijk snel in te zien dat dit er 5 moeten zijn:
nl:
      b          b|c     a c       a          a|b
 a |  _       a|  _      -|-       - |d  en    - |d
     c|d  ,       d  ,   b d ,    b|c          c

waarbij de notatie een bijna meetkundig bewijs impliceert.

Het lijkt duidelijk dat die verdomde notatie met haakjes de boel in elk 
geval ernstig bemoeilijkt. 
Daarom is een volgende stap het gaan gebruiken van een haakjes-loze 
'stack'-notatie, die ook in hp-rekenmachines word benut:

bijv.:

ab|c|d| = ((a|b)|c)|d
ab|cd|| = (a|b)|(c|d)
etc.

We kunnen nu opmerken (voor elke n):
-een operator kan slechts komen als g-o-2>=0, waarbij g, 
resp. o het aantal getallen resp. operatoren zijn die er al staan.
- totaal aantal operatoren is het totaal aantal getallen-1
-het aantal haakjes klopt zodra g-o-2=0
waaruit volgt:
-we beginnen altijd met twee getallen 
-we eindigen altijd met een operator
die kunnen we dus net zo goed niet noteren:

|c|d
|cd|

hoeveel mogelijkheden zijn er nu op geldige notaties (N)?

systematisch afgaan:
|c|d
|cd|
c||d
c|d|
cd||
vijf dus.

Maar nu n=5:

 |c|d|e (alle o. zo ver mogelijk naar links, linkser mag niet, rechtser is ok)
 |c|de|
 |cd||e               
 |cd|e|
 |cde||
 c||d|e
 c||de|
 c|d||e
 c|d|e|
 c|de||
 cd|||e
 cd||e|
 cd|e||
 cde|||

N=14?
maar nu ben ik al niet meer zeker van de systematiek.

n=3 lukt zeker:
|c
c|

N=2 dus

n=2 is nog makkelijker:
<niks>
of uitgebreider
ab|

N=1 dus.

tabel:
 n     aantal manier om haakjes te plaatsen (N)
 2        1
 3        2
 4        5
 5        14
hmm. ik kan hieruit geen formule gokken voor algemene n.

Dit kan ik echter wel na de volgende overpeinzing:
Ik denk dat de systematiek die van een (n-1)-tallig stelsel is, met 
getallen die n-2 cijfers lang zijn. Het vorige cijfer moet steeds groter 
zijn.
We kunnen dus voor N zeggen:

N = 
\Sigma_{i_1=0}^{n-2}\Sigma_{i_2=i_1+1}^{n-2}..\Sigma_{i_{n-2}=i_{n-3}+1}^{n-2}1 
 
Ik stel voor om dit even als hypothese aan te houden. Ik geloof dat het 
een juiste beschrijving is. Misschien kunnen we dan deze formule 
bewijzen, en hebben we weer wat bereikt. Ik zal hem misschien eerste 
eens  een paar keer proberen in te vullen en kijken of het juiste 
antwoorden levert.

Maar nu heb ik daarvoor geen tijd meer.

9 februari.
Voorgaande formule klop niet geheel. De ondergrenzen heb ik namelijk geeist 
groter te zijn dan de vorige. Dit is slechts waar als de vorige op zijn 
minimum zit, geloof ik. Ik zoek het nog wel eens uit.